Ring (Gelanggang)

Definisi  :

Suatu Ring (R , * , ·) adalah sebuah himpunan tak kosong R dengan dua operasi biner yaitu * sebagai operasi pertama dan · sebagai operasi kedua, yang kedua-duanya didefinisikan pada R yang memenuhi aksioma berikut :

=>  (R , *) adalah grup abelian

=>  Operasi · tertutup di R

=>  Operasi ·bersifat assosiatif di R

=>  Operasi · bersifat distributif terhadap operasi * di R baik distributif kiri maupun kanan

Sebagiai ilustrasi diberikan sebagai berikut :

R  Ø            ----->dikenai operasi * sehingga (R, *) membentuk grup abelian 

                        ----->dikenai operasi ·  sehingga  ·  bersifat tertutup di R, assosiatif di R

                                  dan distributif terhadap * di R   

Bila dituliskan dengan simbol  :

Suatu Ring (R , * , ·) adalah sebuah himpunan dengan dua operasi biner yaitu * sebagai operasi pertama dan . sebagai operasi kedua, yang kedua-duanya didefinisikan pada R yang memenuhi aksioma bahwa untuk setiap a,b Î R berlaku :

=>a * b Î R                                                                           ....................... * Tertutup di R

=>a * (b * c) = (a * b) * c                                                  ....................... *  assosiatif di R 

=>           I * a = a * I = a        ( I = identitas operasi * )   .......................  Ada identitas op. *

=>     a *  a-1  =  a-1  *  a = I                                             .......................  Ada invers thp op. *

=>           a * b = b * a                                                         ....................... *  komutatif di R

=>           a  · b  Î R                                                              ....................... ·  tertutup di R

=>    a · (b · c) = (a · b) · c                                                  ....................... ·   assosiatif di R 

=>   a · (b * c) = (a · b) * (a · c) dan (b * c) · a = (b · a) * (c · a) .....  ·  distributif thp op. *

 Contoh:

Diberikan (Z , + , x); dengan  Z adalah himpunan bilangan bulat

  maka berdasarkan definisi Ring, kita selidiki sebagai berikut :

=>  (Z , +) adalah grup abelian yaitu

  -  a , b Z   maka  a + b Z

  -  a , b, c Î Z   maka  (a + b) + c = a + (b + c)

  -  a + 0 = 0 + a = a ;   dengan 0 adalah identitas terhadap operasi +

  -  a + (-a) = (-a) + a = 0  dengan (-a) Z adalah invers dari a

  -  a + b = b + a

=>  Operasi x tertutup di Z yaitu untuk setiap  a , b Z   maka  a x b Î Z

=>  Operasi x bersifat assosiatif di Z yaitu untuk setiap a,b,c Î Z berlaku  

       a x (b x c) = (a x b) x c

=>  Operasi x bersifat distributif terhadap operasi + di Z yaitu untuk setiap a,b,c Z berlaku   a  x (b + c)  =  (a x b) + (a x c)   dan   (a + b) x c = (a x c) + (b x c)