Tampilkan postingan dengan label Aljabar Linier. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Aljabar Linier. Tampilkan semua postingan

Sabtu, 12 Maret 2011

Determinan

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = ad - bc

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A
Pertama buat minor dari a11
M11 = \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} = detM = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
\begin{bmatrix} +&-&+&-&+&\cdots\\ -&+&-&+&-&\cdots\\ +&-&+&-&+&\cdots\\ -&+&-&+&-&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \\ \end{bmatrix}
Begitu juga dengan minor dari a32
M32 = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23}\\ \end{bmatrix} = detM = a11a23 x a13a21
Maka kofaktor dari a32 adalah
c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} - a12\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{bmatrix} + a13\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} - a21\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{bmatrix} + a31\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 4\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8
Diposting oleh di 1 komentar:
Label:

Matriks Simetris

dari wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Matriks kotak A disebut simetris jika A = AT
Contoh matriks simetris
\begin{bmatrix} 7 & -3 \\ -3 & 5 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5\\ 4 & -3 & 0\\ 5 & 0 & 7\\ \end{bmatrix}
Teorema
  • Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka
AT adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris (AB)T = BTAT = BA

Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka A − 1 adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = AT maka :
(A − 1)T = (AT) − 1 = A − 1
Yang mana membuktikan bahwa A − 1 adalah simetris.

Produk AAT dan ATA
(AAT)T = (AT)TAT = AAT dan (ATA)T = AT(AT)T = ATA
Contoh
A adalah matriks 2 X 3
A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4\\ 3 & 0 & -5\\ \end{bmatrix}
lalu
ATA = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0\\ 4 & -5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 4\\ 3 & 0 & -5\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -2 & 11\\ -2 & 4 & -8\\ -11 & -8 & 41\\ \end{bmatrix}

AAT = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4\\ 3 & 0 & -5\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0\\ 4 & -5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 21 & -17 \\ -17 & 34\\ \end{bmatrix}
Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka AAT dan ATA juga bisa di inverse
Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Label:

Matriks Segitiga

dari wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34}\\ 0 & 0 & 0 & a_{44}\\ \end{bmatrix}
Matriks segitiga bawah
\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{bmatrix}
Teorema
  • Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
  • Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
  • Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
  • Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Contoh :
Matriks segitiga yang bisa di invers
A =\begin{bmatrix} 1 & 3 & -1\\ 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 5\\ \end{bmatrix}
Inversnya adalah
A − 1=\begin{bmatrix} 1 & -3/2 & 7/5\\ 0 & 1/2 & -2/5\\ 0 & 0 & 1/5\\ \end{bmatrix}
Matriks yang tidak bisa di invers
B =\begin{bmatrix} 3 & -2 & 2\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}
Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Label:

Matriks Diagonal

dari wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas 
Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :
\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -5\\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}
secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai
\begin{bmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & d_n\\ \end{bmatrix}

Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :
D − 1=\begin{bmatrix} 1/d_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1/d_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1/d_n\\ \end{bmatrix}
DD − 1 = D − 1D = I
jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka

Dk=
\begin{bmatrix} d_1^k & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_2^k & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & d_n^k\\ \end{bmatrix}

Contoh :
A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ \end{bmatrix}
maka
A5=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -243 & 0\\ 0 & 0 & 32\\ \end{bmatrix}
Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Label:

Transpose Matriks

dari wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

ang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
Contoh:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 2 & -5 & 1\\ -1 & 3 & 3\\ 5 & 4 & 8\\ \end{bmatrix} ditranspose menjadi AT = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5\\ -5 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 8\\ \end{bmatrix}

Matriks
B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7\\ 9 & 5 & 7 & 4\\ 4 & 1 & 5 & 3\\ \end{bmatrix} ditranspose menjadi BT = \begin{bmatrix} 1 & 9 & 4\\ 3 & 5 & 1\\ 5 & 7 & 5\\ 7 & 4 & 3\\ \end{bmatrix}

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:
1. ((A)T)T = A
2. (A + B)T = AT + BT dan (A − B)T = AT − BT
3. (kA)T = kAT dimana k adalah skalar
4. (AB)T = BTAT
Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Label:

Invers Matriks

Ika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A − 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =
A^{-1} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\ -\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\ \end{bmatrix}
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB) − 1 = B − 1A − 1

Contoh 1:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = I (matriks identitas)
BA = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = I (matriks identitas)
Maka dapat dituliskan bahwa B = A − 1 (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \\ \end{bmatrix}
BA = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 21 \\ 15 & 19 \\ \end{bmatrix}
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.

Contoh 3:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\ \end{bmatrix}
Tentukan Nilai dari A-1
Jawab:
A^{-1} =\frac{1} {(3)(2)-(5)(1)}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {6-5}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {1}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix}

Contoh 4:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix}, AB = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 8 \\ \end{bmatrix}
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}, B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \frac{3} {2} \\ \end{bmatrix}, (AB)^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -\frac{9} {2} & 8 \\ \end{bmatrix}
Maka
B^{-1} A^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \frac{3} {2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -\frac{9} {2} & 8 \\ \end{bmatrix}
Ini membuktikan bahwa (AB) − 1 = B − 1A − 1

sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Operasi_Dalam_Matriks
Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)