Persegi Panjang

Persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku.

Rusuk terpanjang disebut sebagai panjang (p) dan rusuk terpendek disebut sebagai lebar (l).

Persegi panjang yang keempat rusuknya sama panjang disebut sebagai persegi.

Rumus persegi panjang

Keliling

k : keliling p : panjang l : lebar

Luas

Panjang diagonal

ISOMORFISME RING

Definisi :

Misal (R1, * , .)  dan ( R2,  , )  adalah ring. 

Misal  f  adalah fungsi onto dan satu-satu dari R1 ke R2 yang memenuhi sifat 
a, b R1  berlaku   (i)    f (a * b)  =  f(a) f(b) 

 dan   (ii)   f (a . b) =  f (a)   f(b)  

maka  fungsi  f disebut sebagai  fungsi  Isomorfisme

Secara sederhana dapat  kita katakan sebagai Isomorfisme Ring dari R1 kepada R2.

Jika fungsi  f  ini ada maka dinyatakan bahwa R1 isomorfik kepada R2 atau R2  adalah bayangan isomorfik dari R1, ditulis dengan  R1   R2. 

Rene Descartes

"Saya berpikir maka saya ada" (Latin: Cogito ergo sum)

dari Discourse on Method

Rene Descartes adalah seorang ahli matematika, ilmuwan, dan filsuf terkenal dari Perancis. Dia dikenal sebagai filsuf pertama dan terkemuka di era moderen yang dengan serius melawan skeptism (keragu-raguan). Pandangannya tentang pengetahuan dan kepastian, dan pandangannya tentang hubungan antara pikiran dan tubuh telah memberi pengaruh yang besar selama tiga abad terakhir. 

Descartes lahir di La Haye (sekarang disebut Descartes) dan bersekolah di Jesuit College of La Flèche antara tahun 1606 dan 1614. Descartes kemudian mengaku bahwa pendidikannya memberi dia sedikit pengetahuan dan hanya matematikalah yang telah memberi dia ilmu pasti. Dalam keluh kesahnya ini, dia bergabung dengan paduan suara para filsuf abad 17 termasuk Bacon, Hobbes dan Locke. Pada 1618 dia pergi ke Holland (Belanda) untuk melayani tentara angkatan darat Prince Maurice of Nassau, saat dalam perjalanan ke Jerman bersama para tentara angkatan darat itu. Pada malam 10 November, dia mengalami serangkaian mimpi yang dia artikan sebagai tanda-tanda bahwa dia akan menemukan suatu ilmu yang universal (a universal science). Pengaruh yang paling penting bagi Descrates pada saat itu adalah ahli matematika Issac Beeckman. Issac Beeckman mendorong Descartes dengan memberikan sejumlah masalah dan mendiskusikan masalah-masalah fisika dan matematika. Karya penting pertama Descartes adalah "Regulae or Rules for the Direction of Mind" yang ditulis pada tahun 1628-9 tetapi tidak diterbitkan hingga 1701. Karya ini menunjukkan minat Descartes pada metode yang dia bagikan kepada beberapa ilmuwan, ahli matematika dan filsuf abad 16 dan 17. 

Salah satu sumber metode ini adalah matematika kuno. Tiga belas buku "Euclid's Elements" merupakan contoh dari pengetahuan dan metode deduktif. Tetapi bagaimana semuanya itu bisa dicapai? Archimedes telah membuat berbagai penemuan yang terkenal. Bagaimana dia bisa membuat penemuan-penemuan itu? Metode yang hasilnya diumumkan ini (kadang-kadang disebut metode sintesis) benar-benar bukan metode yang hasilnya telah ditemukan. Jadi, penelitian ditujukan untuk metode yang digunakan oleh para ahli matematika kuno untuk penemuan mereka (metode analisa). Descartes benar-benar yakin bahwa penemuan metode yang tepat adalah kunci dari meningkatnya pengetahuan. Untuk diskusi yang lebih luas dan rinci tentang metode ini, bisa dilihat di buku "The Rationalists," Oxford University Press, Oxford, 1982, Chapter 2 yang ditulis oleh John Cottingham.

Pada November 1628 Descartes berada di Paris, dimana dia menjadikan dirinya terkenal saat bertentangan dengan Chandoux. Chandoux mengaku bahwa ilmu hanya bisa didasarkan pada kemungkinan. Pandangan ini mencerminkan dominasi skeptisisme lingkaran intelektual Renaissance di Perancis. (This view reflected the dominance in French intellectual circles of Renaissance skepticism.) Pandangan skeptis ini berasal dari krisis religius di Eropa yang merupakan akibat dari Reformasi Protestan dan diperparah dengan penerbitan "Sextus Empiricus" dan pencerminan ketidaksetujuan antar penulis klasik. Keadaan ini diperparah lagi dengan pertimbangan-pertimbangan tentang perbedaan budaya antara budaya Dunia Baru dan Eropa, dan oleh perdebatan tentang sistem Copernican baru. Semuanya ini telah disusun sedemikian rupa oleh Montaigne dalam karyanya, "Apology for Raymond Sebond", dan dikembangkan oleh para pengikutnya. Descartes diserang dengan pandangan ini, hanya mengakui bahwa kepastian bisa dijadikan sebagai dasar pengetahuan dan bahwa dia sendiri memiliki suatu metode untuk mendapatkan kepastian itu. Pada tahun yang sama Descartes pindah ke Holland dimana dia tetap mendapatkan gangguan singkat hingga tahun 1649.

Di Holland, Descartes menghasilkan karya ilmiah yang disebut "Le Monde" atau "The World" yang diterbitkan pada 1634. Namun, pada akhirnya dia belajar bahwa Galileo telah dipersalahkan oleh gereja karena mengajarkan Copernicanism. Buku yang ditulis Descarte berpusat pada Copernican, sehingga buku itu dikecam. Pada 1638 Descartes menerbitkan sebuah buku yang berisi tiga esai di bidang matematika dan ilmu ilmiah dan "Discourse on Method". Karya ini ditulis di Perancis (daripada di Latin) dan ditujukan untuk dunia pendidikan daripada hanya untuk bidang akademis. Pada 1641 Descartes kembali menulis buku "Meditationes de Prima Philosophia" (Meditations on First Philosophy). Karya pendek ini bersifat lebih metafisika daripada ilmiah, dan bertujuan untuk mendirikan dasar- dasar tertentu untuk ilmu pengetahuan yang telah diumumkan Descartes pada perdebatannya dengan Chandoux pada tahun 1628. (Untuk mengetahui lebih jelas tentang buku ini baca "Structure of the Meditations". Buku ini diterbitkan bersama-sama dengan "Objections and Replies" dari enam (dan kemudian tujuh) filsuf dan teolog, termasuk Thomas Hobbes, Pierre Gassendi dan Antoine Arnauld.

Setelah buku Meditations, Descartes menghasilkan "The Principles of Philosophy" pada 1644, pernyataan terlengkap atas filosofinya yang matang dan atas sistem Cartesian secara umum. Bab 1 menjelaskan pandangan metafisika Descartes. Bab 2 memberikan penjelasan rinci tentang prinsip-prinsip fisika Catesian. Bab III menerapkan prinsip- prinsip fisika untuk memberikan penjelasan rinci tentang bumi, dan Bab IV tentang berbagai fenomena di bumi. Dua bagian lagi, direncanakan untuk hal-hal yang berkaitan dengan tanaman dan binatang dan manusia, tetapi tidak lengkap. Pada 1648 Descartes menerbitkan "Notes Against a Program"-- suatu respon terhadap suatu selebaran yang diterbitkan tanpa nama oleh Henricus Regius, Professor of Medecine (Profesor kesehatan) di University of Utrecht (Universitas Utrecht). Regius sejak awal sudah mendukung dan antusias terhadap Descartes. Tetapi ketika Regius menerbitkan "Foundations of Physics" karyanya, Descartes memprotesnya karena Regius telah tanpa malu menggunakan makalah Descartes yang tidak diterbitkan yang telah dia dapatkan dan Regius juga telah menyimpang dari ide-ide Descartes

source: http://biokristi.sabda.org/rene_descartes_1595_1650

Biografi Phytagoras

              Phytagoras lahir pada tahun 570 SM, di pulau Samos, di daerah Ionia. Pythagoras (582 SM – 496 SM, bahasa Yunani: Πυθαγόρας) adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya.Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya.

                Dalam tradisi Yunani, diceritakan bahwa ia banyak melakukan perjalanan, diantaranya ke Mesir. Perjalanan Phytagoras ke Mesir merupakan salah satu bentuk usahanya untuk berguru, menimba ilmu, pada imam-imam di Mesir. Konon, karena kecerdasannya yang luar biasa, para imam yang dikunjunginya merasa tidak sanggup untuk menerima Phytagoras sebagai murid. Namun, pada akhirnya ia diterima sebagai murid oleh para imam di Thebe. Disini ia belajar berbagai macam misteri. Selain itu, Phytagoras juga berguru pada imam-imam Caldei untuk belajar Astronomi, pada para imam Phoenesia untuk belajar Logistik dan Geometri, pada para Magi untuk belajar ritus-ritus mistik, dan dalam perjumpaannya dengan Zarathustra, ia belajar teori perlawanan.

                  Selepas berkelana untuk mencari ilmu, Phytagoras kembali ke Samos dan meneruskan pencarian filsafatnya serta menjadi guru untuk anak Polycartes, penguasa tiran di Samos. Kira-kira pada tahun 530, karena tidak setuju dengan pemerintahan tyrannos Polycartes, ia berpindah ke kota Kroton di Italia Selatan. Di kota ini, Phytagoras mendirikan sebuah tarekat beragama yang kemudian dikenal dengan sebutan “Kaum Phytagorean.”

Kaum Phytagorean

                  Kaum phytagorean sangat berjasa dalam meneruskan pemikiran-pemikiran Phytagoras. Semboyan mereka yang terkenal adalah “authos epha, ipse dixit” (dia sendiri yang telah mengatakan demikian).2 Kaum ini diorganisir menurut aturan-aturan hidup bersama, dan setiap orang wajib menaatinya. Mereka menganggap filsafat dan ilmu pengetahuan sebagai jalan hidup, sarana supaya setiap orang menjadi tahir, sehingga luput dari perpindahan jiwa terus-menerus.
Diantara pengikut-pengikut Phytagoras di kemudian hari berkembang dua aliran. Yang pertama disebut akusmatikoi (akusma = apa yang telah didengar; peraturan): mereka mengindahkan penyucian dengan menaati semua peraturan secara seksama. Yang kedua disebut mathematikoi (mathesis = ilmu pengetahuan): mereka mengutamakan ilmu pengetahuan, khususnya ilmu pasti.

Pemikiran Phytagoras

               Phytagoras percaya bahwa angka bukan unsur seperti udara dan air yang banyak dipercaya sebagai unsur semua benda. Angka bukan anasir alam. Pada dasarnya kaum Phytagorean menganggap bahwa pandangan Anaximandros tentang to Apeiron dekat juga dengan pandangan Phytagoras. To Apeiron melepaskan unsur-unsur berlawanan agar terjadi keseimbangan atau keadilan (dikhe). Pandangan Phytagoras mengungkapkan bahwa harmoni terjadi berkat angka. Bila segala hal adalah angka, maka hal ini tidak saja berarti bahwa segalanya bisa dihitung, dinilai dan diukur dengan angka dalam hubungan yang proporsional dan teratur, melainkan berkat angka-angka itu segala sesuatu menjadi harmonis, seimbang. Dengan kata lain tata tertib terjadi melalui angka-angka.

Salah satu peninggalan Phytagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia lah yang pertama membuktikan pengamatan ini secara matematis.[1]

                   Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan. Ketika muridnya Hippasus menemukan bahwa \sqrt{2}, hipotenusa dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1, adalah bilangan irasional, Pythagoras memutuskan untuk membunuhnya karena tidak dapat membantah bukti yang diajukan Hippasus

Ref : http://id.wikipedia.org/wiki/Pythagoras
http://dpenga.blogspot.com/2008/10/phytagoras.html

Al-Khawarizmi bapak Al Jabar (Matematikawan Muslim)

             Sangat sedikit orang yang mengetahui riwayat hidup al-Khawarizmi. Dia lahir sebelum tahun 800 M dan meninggal setelah tahun 847 M. Nama lengkapnya Abu Abdullah Muhammad Ibnu Musa. Dia dikenal dengan sebutan al-Khawarizmi karena berasal dari Khawarizm, sebuah daerah di timur laut Kaspia.

Al-Khawarizmi diperkirakan hidup di pinggiran Baghdad pada masa Khalifah al-Ma’mun (813-833 M) zaman dinasti Abbasiyyah. Khalifah al-Ma’mun menjadi sahabat karibnya. Dia menjadikan al-Khawarizmi sebagai anggota Bait al-Khikmah (Wisma Kearifan) di Baghdad . Sebuah lembaga penelitian ilmu pengetahuan yang didirikan oleh Khalifah Harun ar-Rasyid.

Bait al-Khikmah memiliki berbagai keunggulan yang masyhur di dunia Islam. Kesuksesan al-Khawarizmi dalam bidang Astronomi dan Aljabar didedikasikan kepada Khalifah al-Ma’mun. Sementara Khalifah al-Ma’mun sendiri banyak memberikan penghargaan kepada al-Khawarizmi.

Dengan Ilmu Astronomi, al-Khawarizmi mengungkap ramalan tentang waktu Nabi Muhammad SAW dilahirkan secara cermat. Dia juga tercatat sebagai salah seorang astronom yang ikut membuat peta dunia atas permintaan Khalifah al-Ma’mun. Peta dunia tersebut kemudian dikenal dengan nama Peta Ptolemy.

Karya intelektual al-Khawarizmi tentang Aritmetika dan Aljabar menjadi sumber acuan Ilmu Matematika di belahan Barat dan Timur. Penulis sejarah Matematika kenamaan, George Sarton, mengungkapkan bahwa al-Khawarizmi adalah salah seorang Ilmuwan Muslim terbesar dan terbaik pada masanya. Sarton menggolongkan bahwa periode antara Abad Keempat sampai Kelima sebagai Zaman al-Khawarizmi, karena dia adalah Ahli Matematika terbesar pada masanya. Smith dan Karpinski menggambarkan pribadi al-Khawarizmi sebagai tokoh terbesar pada masa keemasan Baghdad, setelah seorang penulis Muslim menggabungkan Ilmu Matematika klasik Barat dan Timur, mengklasifikasikan dan akhirnya membangkitkan kesadaran daratan Eropa.

Pengaruh lain yang berkaitan erat dengan Ilmu Matematika adalah suku kata algoritm yang dinotasikan sebagai prosedur baku dalam menghitung sesuatu. Kata ini berasal dari perubahan versi al-Khawarizmi ke dalam versi Latin, algorismi, algorism dan akhirnya menjadi algorithm.

Tulisannya tentang aritmetika berbahasa Arab pertama kali diterjemahkan ke dalam bahasa Latin memainkan peran penting dalam perkembangan bilangan Arab dan sistem bilangan yang diterapkan saat ini. Meskipun bukan murni sebagai penemunya, tahapan yang dilakukan al-Khawarizmi merupakan format pengembangan sistem bilangan kita saat ini. Hal ini menjelaskan bahwa penggunaan sistem bilangan Arab dan notasi penulisan basis sepuluh, yang diperkenalkan oleh al-Khawarizmi, dapat dikatakan sebagai sebuah revolusi perhitungan di Abad Pertengahan bagi bangsa Eropa.

Setelah al-Khawarizmi meninggal, keberadaan karyanya beralih kepada komunitas Islam. Yaitu, bagaimana cara menjabarkan bilangan dalam sebuah metode perhitungan, termasuk dalam bilangan pecahan; suatu penghitungan Aljabar yang merupakan warisan untuk menyelesaikan persoalan perhitungan dan rumusan yang lebih akurat dari yang pernah ada sebelumnya.

Di dunia Barat, Ilmu Matematika lebih banyak dipengaruhi oleh karya al-Khawarizmi dibanding karya para penulis pada Abad Pertengahan. Masyarakat modern saat ini berhutang budi kepada seorang al-Khawarizmi dalam hal penggunaan bilangan Arab. Notasi penempatan bilangan dengan basis 10, penggunaan bilangan irrasional dan diperkenalkannya konsep Aljabar modern membuatnya layak menjadi figur penting dalam bidang Matematika dan revolusi perhitungan di Abad Pertengahan di daratan Eropa. Dengan penyatuan Matematika Yunani, Hindu dan mungkin Babilonia, teks Aljabar merupakan salah satu karya Islam di dunia Internasional.

Ring (Gelanggang)

Definisi  :

Suatu Ring (R , * , ·) adalah sebuah himpunan tak kosong R dengan dua operasi biner yaitu * sebagai operasi pertama dan · sebagai operasi kedua, yang kedua-duanya didefinisikan pada R yang memenuhi aksioma berikut :

=>  (R , *) adalah grup abelian

=>  Operasi · tertutup di R

=>  Operasi ·bersifat assosiatif di R

=>  Operasi · bersifat distributif terhadap operasi * di R baik distributif kiri maupun kanan

Sebagiai ilustrasi diberikan sebagai berikut :

R  Ø            ----->dikenai operasi * sehingga (R, *) membentuk grup abelian 

                        ----->dikenai operasi ·  sehingga  ·  bersifat tertutup di R, assosiatif di R

                                  dan distributif terhadap * di R   

Bila dituliskan dengan simbol  :

Suatu Ring (R , * , ·) adalah sebuah himpunan dengan dua operasi biner yaitu * sebagai operasi pertama dan . sebagai operasi kedua, yang kedua-duanya didefinisikan pada R yang memenuhi aksioma bahwa untuk setiap a,b Î R berlaku :

=>a * b Î R                                                                           ....................... * Tertutup di R

=>a * (b * c) = (a * b) * c                                                  ....................... *  assosiatif di R 

=>           I * a = a * I = a        ( I = identitas operasi * )   .......................  Ada identitas op. *

=>     a *  a-1  =  a-1  *  a = I                                             .......................  Ada invers thp op. *

=>           a * b = b * a                                                         ....................... *  komutatif di R

=>           a  · b  Î R                                                              ....................... ·  tertutup di R

=>    a · (b · c) = (a · b) · c                                                  ....................... ·   assosiatif di R 

=>   a · (b * c) = (a · b) * (a · c) dan (b * c) · a = (b · a) * (c · a) .....  ·  distributif thp op. *

 Contoh:

Diberikan (Z , + , x); dengan  Z adalah himpunan bilangan bulat

  maka berdasarkan definisi Ring, kita selidiki sebagai berikut :

=>  (Z , +) adalah grup abelian yaitu

  -  a , b Z   maka  a + b Z

  -  a , b, c Î Z   maka  (a + b) + c = a + (b + c)

  -  a + 0 = 0 + a = a ;   dengan 0 adalah identitas terhadap operasi +

  -  a + (-a) = (-a) + a = 0  dengan (-a) Z adalah invers dari a

  -  a + b = b + a

=>  Operasi x tertutup di Z yaitu untuk setiap  a , b Z   maka  a x b Î Z

=>  Operasi x bersifat assosiatif di Z yaitu untuk setiap a,b,c Î Z berlaku  

       a x (b x c) = (a x b) x c

=>  Operasi x bersifat distributif terhadap operasi + di Z yaitu untuk setiap a,b,c Z berlaku   a  x (b + c)  =  (a x b) + (a x c)   dan   (a + b) x c = (a x c) + (b x c)