Sabtu, 12 Maret 2011

Matriks Simetris

dari wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Matriks kotak A disebut simetris jika A = AT
Contoh matriks simetris
\begin{bmatrix}
7 & -3 \\
-3 & 5 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 5\\
4 & -3 & 0\\
5 & 0 & 7\\
\end{bmatrix}
Teorema
  • Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka
AT adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris (AB)T = BTAT = BA

Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka A − 1 adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = AT maka :
(A − 1)T = (AT) − 1 = A − 1
Yang mana membuktikan bahwa A − 1 adalah simetris.

Produk AAT dan ATA
(AAT)T = (AT)TAT = AAT dan (ATA)T = AT(AT)T = ATA
Contoh
A adalah matriks 2 X 3
A = \begin{bmatrix}
1 & -2 & 4\\
3 & 0 & -5\\
\end{bmatrix}
lalu
ATA = \begin{bmatrix}
1 & 3 \\
-2 & 0\\
4 & -5 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & -2 & 4\\
3 & 0 & -5\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
10 & -2 & 11\\
-2 & 4 & -8\\
-11 & -8 & 41\\
\end{bmatrix}

AAT
= \begin{bmatrix}
1 & -2 & 4\\
3 & 0 & -5\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
-2 & 0\\
4 & -5 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
21 & -17 \\
-17 & 34\\
\end{bmatrix}
Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka AAT dan ATA juga bisa di inverse

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar