Definisi : Misal (G, ·) adalah sebarang grup. Misal a adalah sebarang elemen dari G. Untuk suatu bilangan bulat terkecil m yang memenuhi a^m = e (e adalah elemen identitas di G) maka m dikatakan sebagai order dari a, dan dituliskan sebagai |a| = m.
Dalam kasus ini, jika tidak ada m yang memenuhi am = e, kita katakan bahwa a berorder infinite atau nol.
Contoh : (1) Diberikan grup modulo 6 dengan operasi jumlah atau (M6, +)
M6 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
Elemen identitas adalah 0
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 maka |1| = 6
2 + 2 + 2 = 0 maka |2| = 3
3 + 3 = 0 maka |3| = 2
4 + 4 + 4 = 0 maka |4| = 3
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 0 maka |5| = 6
dan |0| = 1
r adalah bilangan bulat non negatif yang sedemikan hingga 0 <= r < n dan ar = e. Karena n adalah bilangan bulat positif terkecil maka r belum tentu positif. Akibatnya r = 0 sehingga m = qn. Ini berarti bahwa n adalah pembagi dari m.
Teorema 1 :
Pada grup finite (terhingga), order dari setiap elemen adalah finite (terhingga)
Bukti :
Bukti :
Misal (G, o) adalah grup. Misal a 
G dan e G adalah elemen identitas.
G dan e G adalah elemen identitas. Karena G tertutup terhadap operasi o maka a o a, a o a o a, dst adalah termuat
di G. Juga elemen-elemen a, a2 , … , ak , … , ah tidak semuanya dapat berbeda.
Misal ak = ah dengan k > h
maka ak o (a-h ) = ah o (a-h )
ak-h = e akibatnya |a| = k – h
karena k > h maka k – h adalah bilangan bulat positif.
Misal k – h = m maka m adalah bilangan bulat positif terhingga sedemikian
hingga am = e. Akibatnya |a| <= m.
Order dari a adalah finite dan a adalah sebarang elemen dari G, maka order
dari grup finite adalah finite.
Teorema 2 :
Order elemen dari suatu grup adalah selalu sama dengan order dari inversnya.
Bukti : Misal (G, o) adalah grup, maka akan kita tunjukkan bahwa |a| = |a-1 |
untuk setiap a G.
G. Andaikan |a| = m dan |a-1 | = n ( m ¹ n )
|a| = m berarti am = e ( e = elemen identitas di G)
sehingga (am )-1 = e
a-m = e
(a-1 )m = e
ini berarti |a-1 | <= m atau n <= m
Begitu pula |a-1 | = n berarti (a-1 )n = e
(an )-1 = e
[(an )-1 ]-1 = e-1
an = e
Ini menujukkan bahwa |a| <= n atau m <= n
Karena m <= n dan n <= m maka m = n.
Kontradiksi dengan pengandaian.
Jadi |a| = |a-1|. Teorema 3:
Misal (G, o) adalah grup. Untuk setiap a,b G maka |a| = |b o a o b-1 |
Bukti :
G maka |a| = |b o a o b-1 | Bukti :
Misal |a| = m maka m adalah bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi am = e ( e = elemen identitas di G)
Selanjutnya
(b o a o b-1)m = (b o a o b ) o (b o a o b ) o … o (b o a o b )
Sebanyak m
(b o a o b-1 )m = b o a ( b o b-1) o a o ( b o b-1) o a o … o a o b-1
Sebanyak m
(b o a o b-1 )m = b o a ( b o b-1) o a o ( b o b-1) o a o … o a o b-1
= b o a o e o a o e o … o a o b-1
= b o a o a o a o … o a o b-1
= b o am o b-1
= b o e o b-1 ………….. (karena a = e )
= b o b-1
= e
karena (b o a o b-1) = e dan m adalah bilangan bulat positif terkecil maka
|b o a o b | = m.
Teorema 4 :
Misal (G, o) adalah grup maka |a o b | = |b o a| , untuk setiap a,b G
Bukti :
Misal e adalah elemen identitas di G maka
G Bukti :
Misal e adalah elemen identitas di G maka
(a o b ) = ( a o b ) o e ………… sifat identitas di G
= ( a o b ) o (a o a-1) ………. .. Ingat ( a o a-1) = e
= a o ( b o a ) o a-1 ………… assosiatif di G
akibatnya |a o b| = |a o (b o a) o a-1| …….. (i)
menurut teorema 9 maka |a o (b o a) o a-1| = |b o a| ……… (ii)
dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa |a o b| = |b o a|
akibatnya |a o b| = |a o (b o a) o a-1| …….. (i)
menurut teorema 9 maka |a o (b o a) o a-1| = |b o a| ……… (ii)
dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa |a o b| = |b o a|
Teorema 5:
Jika a G dan |a| = n dan e adalah identitas di G berlaku bahwa untuk suatu bilangan bulat positif m dengan am = e jika hanya jika n adlh pembagi dari m
G dan |a| = n dan e adalah identitas di G berlaku bahwa untuk suatu bilangan bulat positif m dengan am = e jika hanya jika n adlh pembagi dari m Bukti :
( ----->) Misal (G, o) adalah grup. Akan ditunjukkan bahwa a G dan |am| = n
yang berarti an = e ---> n pembagi dari m
a G dan |a| = n dan am = e maka m ³ n , untuk suatu bil bulat m untuk m = n maka jelas n pembagi dari m untuk m > n maka berdasarkan algoritma pembagian bahwa terdapat bilangan bulat q dan r sedemikian hingga m = q.n + r ; 0 <= r < n
selanjutnya am = e
( ----->) Misal (G, o) adalah grup. Akan ditunjukkan bahwa a
G dan |am| = n yang berarti an = e ---> n pembagi dari m
a G dan |a| = n dan am = e maka m ³ n , untuk suatu bil bulat m untuk m = n maka jelas n pembagi dari m untuk m > n maka berdasarkan algoritma pembagian bahwa terdapat bilangan bulat q dan r sedemikian hingga m = q.n + r ; 0 <= r < n
selanjutnya am = e
aqn+r = e
(aqn) o ar = e
(an)q o ar = e
eq o ar = e
ar = e r adalah bilangan bulat non negatif yang sedemikan hingga 0 <= r < n dan ar = e. Karena n adalah bilangan bulat positif terkecil maka r belum tentu positif. Akibatnya r = 0 sehingga m = qn. Ini berarti bahwa n adalah pembagi dari m.
(<---) akan ditunjukkan bahwa a G, |a| = n , m adalah bilangan bulat positif dan
G, |a| = n , m adalah bilangan bulat positif dan n |m ---> am = e
Bukti : n ½m maka m = qn , untuk suatu bilangan bulat positif q
Akibatnya am = anq
Akibatnya am = anq
am = (an)q
am = eq
am = e …………… terbukti
Teorema 6:
Misal (G, o) adalah grup. Misal a G dan |a| = n , jika (p,n) = 1 maka |ap | = n
Bukti :
|a| = n maka an = e ; (e = elemen identitas)
G dan |a| = n , jika (p,n) = 1 maka |ap | = n Bukti :
|a| = n maka an = e ; (e = elemen identitas)
(an)p = ep
a np = e
(ap)n = e
berarti |ap| <= n
karena m <= n maka |ap| = m …………. (i)
karena (p , n ) = 1 maka dapat dituliskan sebagai pq + mn = 1 (q,m Z)
Z) selanjutnya a = a
a = aqp+mn
a = aqp o amn
a = (ap)q o (an)m
a = (ap)q o em
a = (ap)q o e
a = (ap)q
dan am = [(ap)q ]m
am = (ap)qm
am = [(ap)q ]m
am = eq ………….. (lihat (i) |ap| = m atau apm = e)
am = e
karena n adalah bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi an = e dan tidak ada bilangan bulat positif m yang lebih kecil dari n yg memenuhi am = e
berarti m <=> n .
Akibatnya m = n
substitusi pada bagian 1 maka diperoleh |ap| = n
Akibatnya m = n
substitusi pada bagian 1 maka diperoleh |ap| = n
Tidak ada komentar:
Posting Komentar